10 Sifat Logaritma Dan Pembuktiannya Lengkap

Posted on

10 Sifat Logaritma Dan Pembuktiannya Lengkap

Sifat-Sifat Logaritma – Logaritma adalah hasil kebalikan dari suatu perpangkatan. Misalnya sebuah perpangkatan ac = b, maka bisa dinyatakan ke dalam logaritma sebagai : alog b = c

Dengan syarat a > 0. Di dalam penulisan logaritma alog b = c di atas, berikut ini keterangannya :

  • Bilangan a disebut sebagai bilangan pokok
  • Bilangan b disebut sebagai bilangan numeurus atau disebut juga bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)
  • Bilangan c adalah hasil dari logaritma tersebut

Bila suatu nilai a sama dengan 10, maka biasanya angka 10 tidak akan dituliskan sehingga diubah menjadi log b = c.

Apabila pada suatu nilai bilangan pokoknya adalah bilangan e atau bilangan eurel, dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya akan diitulis dengan logaritma natural dan penulisannya disingkat menjadi ln, contohnya elog b = c menjadi ln b = c

Berikut ini sejumlah contoh logaritma :

Bentuk Umum Logaritma

Bentuk umum dari suatu logaritma adalah :

ax = b         ↔      x = alog

dengan syarat berikut ini  b > 0, a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan :

a = Bilanganya pokok atau basis logaritma

b = Numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai  dari logaritmanya

x = Hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Sifat Logaritma

  • Sifat logaritma dari sebuah perkalian

Adalah hasil dari penjumlahan dua logaritma yang lainnya yang nilai kedua pada numerusnya, adalah faktor dari nilai numerus awal. Berikut ini modelnya :

alog p.q = alog p + alog q

Dengan syarat a > 0,  , p > 0, q > 0.

  • Perkalian logaritma

Logaritma pada bilangan a bisa dikalikan dengan logaritma bilangan b bila nilai dari numerus logaritma a sama dengan nilai dari bilangan pokok logaritma b. hasil perkalian itu adalah bentuk dari logaritma yang baru, dengan nilai bilangan pokok yang sama dengan logaritma a nya, dan nilai numerusnya sama dengan logaritma b. berikut ini model dari sifat logaritmanya :

Baca Juga :   Materi Relasi Dan Fungsi (Komposisi Dan Fungsi Invers Lengkap)

alog b x blog c = alog c

Dengan syarat a > 0,

  • Sifat logaritma dengan pembagian

Logaritma adalah hasil dari pengurangan yang ada diantara dua logaritma yang lainnya, yang nilai kedua numerusnya adalah hasil dari pecahan atau pembagian nilai numerus logaritma awal. Berikut ini modelnya :

alog   = alog p – alog q

Dengan syarat  a > 0,  , p > 0, q > 0

  • Sifat logaritma yang berbanding terbalik

Logaritma juga dapat berbanding terbalik dengan logaritma yang lainnya, yang mempunyai nilai bilangan pokok dan numerusnya yang saling bertukaran. Berikut ini modelnya :

alog b =1/b log a 

Dengan syarat a > 0

  • Logaritma yang berlawanan tanda

Logaritma yang berlawanan tanda dengan logaritma yang mempunyai numerusnya, adalah hasil pecahan yang terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut ini modelnya :

alog   = – alog 

Dengan syarat a > 0,  , b > 0

  • Perpangkatan bilangan pokok logaritma

Nilai dari logaritma dengan nilai bilangan pokoknya adalah suatu eksponen atau pangkat yang bisa dijadikan bentuk logaritma yang baru, dengan mengeluarkan pangkatnya sehingga menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya :

Dengan syarat a > 0

  • Bilangan pokok logaritma yang sebanding dengan perpangkatan numerus

Nilai dari sebuah logaritma dengan nilai numerusnya adalah suatu eksponen atau pangkat, dari nilai bilangan pokok yang mempunyai hasil yang sama dengan nilai pangkat numerusnya. Berikut modelnya :

alog ap = p

Dengan syarat a > 0

  • Perpangkatan logaritma

Nilai dari bilangan yang mempunyai pangkat yang bentuknya logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numeru dari logaritma tersebut. berikut modelnya :

Dengan syarat a > 0, m > 0

  • Mengubah basis logaritma

Nilai dari logaritma bisa dipecah menjadi perbandingan dua buah logaritma seperti berikut :

Dengan syarat a > 0, p > 0, q > 0

Grafik Logaritma

Fungsi dari sebuah logaritma dinyatakan dalam bentuk grafik bisa digunakan untuk membantu dalam menentukan grafik fungsi dari sebuah logaritma. Berikut gambar grafik logaritma dengan inversnya :

Baca Juga :   Pengertian Serta Unsur-Unsur Lingkaran dan Menghitung Luas & Keliling Lingkaran

Contoh Soal

Berapakah Hasil dari   …

Penyelesaianya adalah :

Demikian penjelasan lengkap tentang sifat-sifat logaritma dan pembuktiannya. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :