Barisan Dan Deret : Pengertian, Geometri, Deret Geometri, Hubungan, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Barisan Dan Deret : Pengertian, Geometri, Deret Geometri, Hubungan, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Barisan Dan Deret – Adalah jenis barisan dan juga deret bilangan yang dimana bilangan yang berikutnya merupakan penambahan bilangan dari yang sebelumnya, dengan bilangan yang berbeda. Contohnya 3, 5, 7, 9, 11, 13, …..

Baris Aritmatika

Pengertian Barisan

Barisan adalah urutan dari anggota himpunan yang dilandasi dengan aturan tertentu. Yang dimana masing-masing anggota himpunannya, akan diurutkan pada urutan/suku yang pertama, kedua, dan seterusnya. Dalam menyatakan urutan/suku ke-n dari barisan dapat dinotasikan dengan lambang Un.

Pengertian lainnya dari barisan adalah fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya merupakan himpunan bilangan asli. Sehingga, Un = f(n).

Contohnya :

Misalnya: Un = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U4 = (2(4) + 1) = 9.

Barisan merupakan himpunan yang anggotanya adalah hasil pemetaan dari bilangan asli.

 

Contoh barisan ialah sebagai berikut:

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2, 5, 8, 11, 14, 17

13, 11, 9, 7, 5, 3

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Baca Juga :   Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Sistem Pertidaksamaan Dan Contoh Soalnya Lengkap

2, 4, 8, 16, 32, 64

Pengertian Baris Aritmatika

Adalah baris yang dimana nilai di setiap sukunya didapatkan dari suku yang sebelumnya melewati penjumlahan/pengurangan dengan bilangan b. selisih antara nilai suku yang berdekatan selalu sama yaitu b.

Maka:

Un – U(n-1) = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika, bisa kita ketahui dengan cara mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b).

Rumusnya yaitu :

Un = Uk + (n – k)b

Jika yang diketahui merupakan nilai suku pertama Uk = serta selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan juga nilai Un = adalah

Un = a + (n – 1)b

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Apabila terdapat barisan aritmatika yang memiliki banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, dan juga suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut ialah sebagai berikut :

Ut = 1/2(a + Un)

dengan t = 1/2(n+1)

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Un = a + (n – 1)b

Keterangan:

Un= suku ke-n

a= suku pertama

b= beda

n= banyak suku

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika diantara dua suku barisan aritmatika K buah suku, maka akan terbentuklah barisan aritmatika yang baru. Perbedaan barisan aritmatika sesudah disisipkan K buah suku maka nantinya akan berubah. Perbedaan barisan aritmatika ini telah disisipkan K buah suku yaitu sebagai berikut :

b’ = b/(k + 1)

Keterangan :

b’= beda barisan aritmatika sesudah disisipkan k buah suku

k= banyak suku yang disisipkan

Banyaknya suku dari aritmatika yang disisipkan K buah suku akan mengalami perubahan, menjadi :

Baca Juga :   Transpose Matriks : Pengertian Dan Cara Menentukannya Lengkap

n’ = n + (n – 1)k 

Keterangan :

n’= merupakan banyak suku barisan aritmatika baru.

n= merupakan banyak suku barisan aritmatika lama.

Deret Aritmatika

Pengertian Deret

Adalah penjumlahan dari anggota suatu barisan. Contohnya :

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
  • 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
  • 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

Pengertian Deret Aritmatika

Adalah penjumlahan antar suku dari sebuah barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku pertama sampai suku ke-N barisan aritmatika dapat dihitung sebagai :

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

atau sebagai =

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Bila hanya diketahui nilai A yang menjadi suku pertama dan nilainya adalah suku ke-N maka nilai deret aritmatikanya yaitu :

Sn = n/2(a + Un)

Persamaannya dapat dibalik untuk mencari suku ke-N menjadi :

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

S(n-1) = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

Sn – S(n-1) = Un                          

Sehingga akan kita dapatkan rumus akhir sebagai berikut:

Un = Sn – S(n-1)

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku barisan aritmatika. Deret aritmatika untuk n pada suku pertama yang dinotasikan dengan huruf Sn dan rumusnya yaitu :

Sn = n/2(a + un)

ataupun

Sn = n/2(2a + (n – 1)b)

Keterangan:

Sn= jumlah n suku pertama

a= suku pertama

Un= suku ke-n atau suku terakhir

b= beda

n= banyak suku

Geometri

Barisan geometri adalah barisan pembanding dengan pembanding diantara dua suku yang berurutan dan sifatnya selalu tetap. Pembanding dari dua suku yang berurutan itu disebut dengan rasio, yang biasanya dinotasikan dengan pemakaian huru R.

Rumus umum untuk rasio geometri yaitu :

Rumus Suku ke-n pada Barisan Geometri

Un = arn – 1 

Keterangan :

Un merupakan suku ke-n.

a merupakan suku pertama.

r merupakan rasio.

n merupakan banyak suku.

Suku Tengah Barisan Geometri

Jika barisan geometri mempunyai banyak suku N yang ganjil, suku pertama A, dan terakhirn Un, maka suku tengah Ut, dari barisan itu adalah :

Baca Juga :   Bentuk Akar : Sifat, Operasi Hitung, Merasionalkan, Cara Menyederhanakan Dan Contoh Soalnya Lengkap

Rumusnya :

Sisipan pada Barisan Geometri

Jika diantara dua suku barisan geometri disisipkan K buah suku sehingga akan dibentuk barisan geometri yang baru, sehingga rasio barisan geometri setelah disisipkan K buah suku akan mengalami perubahan. Rasio dari barisan geometri setelah disisipkan K buah suku adalah :

Keterangan :

r’ merupakan rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku.

k merupakan banyak suku yang disisipkan.

Banyak suku dari barisan geometri yang disisipkan k buah suku juga akan mengalami perubahan, menjadi :

n’ = n + (n – 1)k 

Keterangan :

n’ merupakan banyak suku barisan geometri baru.

n merupakan banyak suku barisan geometri lama.

Deret Geometri

Adalah jumlah dari suku barisan geometri. Deret geometri untuk N suku pertama dinotasikan dengan pemakaian huruf Sn. dengan rumus berikut :

Keterangan:

Sn merupakan jumlah n suku pertama.

a merupakan suku pertama.

r merupakan rasio.

n merupakan banyak suku.

Deret Geometri Tak Berhingga

Barisan geometri dengan rasio antara -1 serta 1 disebut sebagai barisan geometri yang konvergen. Deret geometri pada barisan geometri yang konvergen dapat dihitung dengan rumus :

Keterangan :

a merupakan suku pertama.

r merupakan rasio dengan syarat -1< r <1.

Hubungan Barisan dan Deret

  • Un= Sn – Sn – 1
  • Beda barisan aritmatika bisa kita dapatkan dari turunan kedua deret aritmatika.

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret

Soal 1

Suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Apabila suku pertamanyanya 4 atau suku terakhirnya yaitu 20, maka dari suku tengahnya adalah …

 

  1. 12
  2. 8
  3. 10
  4. 16

 

Jawab:

 

a = 4

Un = 20

Ut= a + Un2 = 20 + 42= 12

 

Jawaban: a

Demikianlah pembahasan materi tentang Barisan dan Deret yang lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat dipahami dengan baik. Dan menambah wawasan anda di bidang yang sama. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :