Bilangan Berpangkat – Eksponen Lengkap

Posted on

Bilangan Berpangkat – Eksponen Lengkap

Bilangan Berpangkat – Adalah bilangan yang gunanya untuk menyederhanakan penulisan dan penyebutan pada suatu bilangan, yang memiliki beberapa faktor perkalian yang sama. Sebagai contoh: 3x3x3x3x3=… atau 7x7x7x7x=… , dan lain sebagainya.

Perkalian bilangan dengan faktor yang sama seperti contoh di atas secara umum disebut dengan perkalian berulang.

Contoh :

3 x 3 x 3 x 3 x 3 bilangan tersebut bisa kita ringkas kembali dengan memakai bilangan berpangkat menjadi 35

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 dan angka tersebut bisa kita ringkas kembali hingga menjadi bilangan berpangkat 810

Cara membacanya:

35: Sepuluh pangkat 5

810 : Delapan pangakt 10

Pangkat di atas berguna untuk menentukan jumlah faktor yang di ulang.

Rumus bilangan berpangkat yaitu:

an=a×a×a×a…sebanyak n kali

Jenis – jenis Bilangan Berpangkat

Antara lain yaitu bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-) serta bilangan berpangkat nol (0). Berikut penjelasan lengkapnya :

1. Bilangan Berpangkat Positif

Adalah bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen yang positif. Eksponen adalah penyebutan lainnya dari pangkat. Bilangan berpangkat positif memiliki beberapa sifat tertentu, yang dimana bilangan itu terdiri dari a, b, sebagai bilangan real dan m, n, yang merupakan bilangan bulat positif.

Bilangan eksponen adalah bentuk pada bilangan perkalian dengan bilangan yang sama, lalu diulang-ulang atau singkat perkalian yang diulang-ulang.

Berikut ini sifat dari bilangan berpangkat positif :

  1. amx a= am+n
  2. a: a= am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
  3. (am)= amn
  4. (ab)= abm
  5. (a/b)= am/b, untuk b ≠ 0

Simak contoh soal berikut ini :

2. Bilangan Berpangkat Negatif

Adalah bilangan yang memiliki pangkat/eksponen negatif. Beberapa sifat dari bilangan perpangkat negatif yaitu :

Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:

a-n = 1/an atau an = 1/ a-n

contoh soal :

Tentukan sekaligus nyatakan dengan pangkat positif bilangan berpangkat di bawah ini:

1/ 6(a + b)-7 = ….

Jawab :

1/ 6(a + b)-7 = = 1/6 (a+b)7

3. Bilangan berpangkat Nol (0)

Adalah “Jika nilai a merupakan bilangan riil serta a tidak sama dengan 0, maka a = 1″.

Contoh soal :

Sederhanakan beberapa bilangan berpangkat di bawah ini:

Soal 1.

5(x2 – y2)(x2 – y2)

Soal 2.

Baca Juga :   Materi Relasi Dan Fungsi (Komposisi Dan Fungsi Invers Lengkap)

3x + 2 y / (3x + 2y)

Jawab :

Soal 1.

5(x2 – y2)(x2 – y2) = 5(x2 – y2) x 1 = 5(x2 – y2), dengan x2 – y ≠ 0

Soal 2.

3x + 2 y / (3x + 2y) = 3x + 2y / 1 = 3x + 2y, dengan 3x + 2y ≠ 0

Operasi Hitung Bilangan Berpangkat

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:

am x an = am+n

Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

53 x 52 = (5 x 5 x 5) x (5 x 5)

53 x 52 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5

53 x 52 = 55

Sehingga dapat kita simpulkan menjadi 53 x 52 = 55

Contoh soal :

Sederhanakan hasil perkalian dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!

  1. 72x  75
  2. (-2)4x (-2)5
  3. (-3)3x (-3)7
  4. 23x 34
  5. 3y2x y3
  6. 2x4x 3x6
  7. -22x 23

Jawab :

  1. 72x  7= 72+5  = 7 = 823.543
  2. (-2)4x (-2)5= -24+5   = -2 = – 512
  3. (-3)3x (-3)7= -33+7   = -310  = 59.049
  4. 23x  3, soal ini tidak bisa kita sederhakan kembali sebab bilangan pokonya berbeda (2 dan 3). Sehingga, kita hanya dapat menghitung nilainya saja, yaitu :
    23 x  3 = 8 x 81 = 648
  5. 3y2x y3= 3(y)2+3  = 3y5
  6. 2x4x 3x6= (2 x 3)(x) 4+6 = 6x10
  7. -22x 23= (-1)2 x 22 x 23 = (1) x 22+3 = 25 = 32

Untuk kasus bilangan pokok negatif yang berpangkat, seperti pada nomor 2, 3 , 7 terdapat poin penting yang harus kalian ketahui, yaitu :

Bilangan negatif pangkat genap= Hasilnya positif
Bilangan negatif pangkat ganjil= Hasilnya negatif

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung pembagian bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat seperti di bawah ini:

am : an = am-n

Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

56 x 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5)

56 x 53 = 5 x 5 x 5 (coret (5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5))

56 x 53 = 53

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi 56 x 53 = 56-3

Contoh soal :

Sederhanakan hasil pembagian dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!

  1. 45/ 53
  2. 34/ 23

Jawab :

  1. 45/ 53= 45-3 = 42 = 16
  2. 34/ 23, soal ini tidak bisa kita sederhakan kembali sebab bilangan pokonya berbeda (3 dan 2). Sehingga, kita hanya dapat menghitung nilainya saja, yaitu:

34 / 2= 81/ 8 = 10,125

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Pada operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:

Baca Juga :   Integral Substitusi dan Integral Parsial : Pengertian, Rumus Serta Contoh Soalnya Lengkap

(am)n = amxn

Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

(53)=(5 x 5 x 5)2

(53)= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)

(53)= 56

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (53)= 53×2

Contoh soal :

Sederhanakan hasil perpangkatan dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!

  1. (43)5
  2. [(-2)4]2

Jawab :

  1. (43)5= 43×5 = 415 = 1.073.741.824
  2. [(-2)4]2= (-2)4×2 = (-2)8 = 256

4. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan

Pada operasi hitung perpangkatan pada sebuah perkalian dua bilangan, maka akan berlaku sifat seperti berikut ini:

(a x b)m = am x bm

Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

(3 x 5)2 = (3 x 5) x (3 x 5)

(3 x 5)2 =(3 x 3) x (5 x 5)

(3 x 5)2 = 32 x 52

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (3 x 5)2 = 32 x 52

Contoh soal :

Sederhanakan hasil perpangkatan dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!

  1. (2 x 7)2
  2. [(1/2) x (1/3)]3

Jawab :

  1. (2 x 7)2= 22 x 72 = 4 x 49 = 196
  2. [(1/2) x (1/3)]3= (1/2)x (1/3)= (1/8) x (1/27) = 1/216

5. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan

Dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut:

(a : b)m = am : bm

Untuk lebih memahami cara mengenai rumus di atas, perhatikan uraian di bawah ini:

(3/5)2 = (3/5) x (3/5)

(3/5)2 = (3 x 3)/(5 x 5)

(3/5)2 = 32/52

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi (3/5)2 = 32/52

Contoh soal :

Sederhanakan hasil perpangkatan dari bilangan berpangkat di bawah ini, lalu tentukan nilainya!

  1. (2/3)2
  2. [(−3)/2]3

Jawab :

  1. (2/3)2= 22/52 = 4/25
  2. [(−3)/2]3= (−3)3/23 = −27/8

6. Sifat Perpangkatan Bilangan nol

Apabila a merupakan bilangan real (a ∈ R) serta n merupakan bilangan bulat positif  (n ≥ 1), maka sifat-sifat perpangkatan  bilangan 0 (nol) ialah sebagai berikut:

  1. ao= 1
  2. n= 0
  3. o= tak terdefinisi

Untuk membuktikan sifat pangkat darir bilangan nol nomor 1, simak penjelasan di bawah ini:

24 : 24 = 24-4 = 20 sehingga,

24 : 24 = 2, sebab 24 : 24 = 16/16 = 1, maka

2 = 1

Dengan pembuktian tersebut, maka dapat kita simpulkan jika seluruh bilangan real kecuali nol jika kita pangkatkan dengan 0 (nol) maka hasilnya akan sama dengan 1.

Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 2, simak penjelasan di bawah ini:

Baca Juga :   Pembagian Pecahan : Jenis, Menyederhanakan Pecahan, Operasi Hitung, Dan Pembagiannya Lengkap

1 = 0 × 0 = 0

2 = 0 × 0 × 0 = 0

3 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Dengan pembuktian di atas, maka bisa kita simpulkan jika bilangan nol apabila kita pangkatkan sebanyak apa pun hasilnya akan selalu nol.

Untuk pembuktian sifat pangkat bilangan nol nomor 3, simak penjelasan di bawah ini:

Kita tahu jika nilai 0n = 0, sehingga,

n/0n = 0/0, nilai 0/0 = seluruh bilangan, karena seluruh bilangan dikalikan nol hasilnya yaitu nol.

Maka dapat kita tuliskan bentuk persamaan lainnya, seperti:

n/0n = 0n-n

n/0n = 00 karena 0n/0n = 0/0 = seluruh bilangan, maka

 = seluruh bilangan

seluruh bilangan artinya dapat 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 dan seterusnya. Maka dari itu, definisinya tidak jelas.

Sehingga bisa kita simpulkan jika bilangan nol pangkat nol hasilnya tidak terdefinisi.

Bentuk Akar

Adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan termasuk ke dalam bilangan rasional, atau bilangan yang meliputi bilangan cacah, prima dan bilangan lainnya yang terkait. Atau bilangan irasional yaitu bilangan yang hasil baginya tak pernah berhenti.

Bentuk akar merupakan bentuk lain dalam menyebutkan bilangan yang berpangkat. Bentuk akar juga termasuk ke dalam bilangan irasional, yang dimana bilangan irasional tak dapat disebutkan dengan memakai bilangan pecahan a/b, a serta b bilangan bulat a dan b ≠ 0.

Bilangan dari bentuk akar adalah bilangan yang ada dalam tanda  yang disebut sebagai tanda akar.

Beberapa contoh bilangan irasional di dalam bentuk akar yakni √2, √6, √7, √11 dan lain sebagainya.

Sementara untuk √25 bukanlah bentuk akar, sebab √25 = 5  (5 merupakan bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya yaitu √5.

Simbol akar “√” pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal Jerman yang bernama Christoff Rudoff.

Di dalam bukunya dengan judul Die Coss. Simbol tersebut dipilih sebab mirip dengan huruf ” r ” yang mana diambil dari kata “radix”, yang merupakan bahasa latin bagi akar pangkat dua.

Bentuk akar juga memiliki sifat yaitu :

  1. √a= a
  2. √a x b = √a x √b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0
  3. √a/b = √a/√b ; a ≥ 0 dan b ≥ 0

Itulah ulasan lengkap dalam pembahasan materi bilangan berpangkat. Semoga artikel ini dapat menjadi referensi yang tepat bagi anda, dalam mempelajari dan menyelesaikan soal yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :