Fungsi Rasional : Pengertian, Grafik, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Fungsi Rasional : Pengertian, Grafik, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Fungsi Rasional – Adalah rasio dari dua polinomial yang sama dengan bilangan rasional, yang merupakan rasio dari dua bilangan bulat.

Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk yang umum. Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d.

Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x². Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta serta penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga dengan fungsi kebalikan, karena mengambil sembarang X (kecuali nol), maka akan menghasilkan kebalikannya yang menjadi nilai dari fungsi tersebut. artinya X yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitupun sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Grafik pada tabel di atas lolos pada uji garis vertikal. Artinya setiap garis vertikal di bidang Koordinat Cartecius akan memotong garis pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi. Kemudian, karena pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembagiannya nol maka nol tak akan memiliki pasangan. Sehingga menghasilkan jeda pada x = 0.

Hal itu juga sesuai dengan domain dari fungsi tersebut yaitu seluruh X anggota bilangan real kecuali 0. Lalu fungsi itu adalah fungsi ganjil, yang dengan salah satu cabangnya terletak pada kuadran I. sedangkan yang lainnya berada pada kuadran III.

Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol. Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Kurva dari grafik fungsi itu akan mendekati sumbu X ketika X mendekati tak hingga, secara grafisnya.

Baca Juga :   Cara Menghitung Tetesan Infus Mikro dan Makro Lengkap

Kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞.

Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh Soal

1. Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

  1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
  2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat xmendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh :

  1. Pada saat xmendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
  2. Pada saat xmendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0. Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x. Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal itu merupakan salah satu indikasi dari sifat asimtot ke arah horizontal. Dan kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². pada umumnya begini,

Asimtot Horizontal

Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Baca Juga :   Geometri Bidang Datar : Macam Dan Bangun Datar Lengkap

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

2. Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

  1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
  2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat xmendekati nol.

Pembahasan

  1. Pada saat x→ –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
  2. Pada saat x→ 0g(x) → ∞. Ketika x → 0+y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal. Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). pada umumnya begini,

Asimtot Vertikal

Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi asimtot horizontal dengan vertikal sangat bermanfaat, karena grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsinya,

Merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. dan fungsinya yaitu,

Adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x².

3. Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasikan fungsi yang diberi oleh grafik pada gambar di bawah ini, kemudian gunakan grafik itu untuk menuliskan persamaan fungsinya. Anggaplah |a| = 1.

Baca Juga :   Bilangan Asli : Pengertian dan Contohnya Lengkap

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas adalah :

Yang dimana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

Sekian pembahasan lengkap tentang materi Fungsi Rasional yang disertai dengan pengertian, grafik dan juga contoh soalnya. Semoga artikel dapat dipahami dengan baik dan membantu anda dalam menyelesaikan soal yang serupa. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :