Kaidah Pencacahan – Aturan, Permutasi, Kombinasi, Peluang, Penjumlahan Peluang Dan Contohnya Lengkap

Posted on

Kaidah Pencacahan – Aturan, Permutasi, Kombinasi, Peluang, Penjumlahan Peluang Dan Contohnya Lengkap

Kaidah Pencacahan – Kaidah pencacahan atau dalam bahasa inggris disebut sebagai (Counting Rules) adalah cara/aturan dalam menghitung segala kemungkinan yang dapat terjadi dalam golongan tertentu.

Kaidah Pencacahan

Adalah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian/objek tertentu yang muncul. Disebut dengan pencacahan karena hasilnya berwujud bilangan cacah. Beberapa metode pada kaidah pencacahan antara lain yaitu metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode permutasi serta metode kombinasi. Berikut penjelasannya lebih lanjut.

Aturan Pengisian Tempat

Berikut contoh kasusnya :

Gilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat.

Tentukan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang!

Penyelesaian:

Ada 3 cara untuk menentukan berbagai kemungkinan Gilang menggunakan kaos dan celana panjang.

Himpunan pasangan terurut

{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}

Dari ketiga metode atau cara di atas, bisa kita simpulkan bahwa banyaknya cara Gilang memakai kaos dan juga celana panjang ada sebanyak 6 cara = 3 × 2 = banyak cara menggunakan kaos × banyak cara menggunakan celana
panjang.

Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa berlangsung dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 bisa berlangsung dalam q1 cara, tahap 2 bisa berlangsung dalam q2 cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n bisa berlangunsg dalam qncara maka kejadian tersebut bisa terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3 × … × qn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Berapa banyaknya cara atau metode untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dari total 8 orang siswa?

Penyelesaian:

Misal ada 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara yang kita visualkan seperti di bawah ini:

Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

Dari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi ketua.

Sebab 1 orang telah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak untuk dipilih menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris.

Sebab 1 orang telah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi bendahara.

Baca Juga :   Diferensial Matematika : Pengertian, Rumus, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Ilustrasi seperti tabel di bawah ini:

876

Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

 

Banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336

Aturan Penjumlahan

Sebagai contoh ada sebuah kejadian yang bisa terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) di mana dalam cara pertama ada p1 kemungkinan hasil yang berbeda.

Pada cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yang berbeda.

Serta demikian selanjutnya hingga cara yang ke – n ada pn kemungkinan hasil yang berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Putra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara laing: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up).

Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah?

Penyelesaian:

Alat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil.

Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan.  Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.

Notasi Faktorial

Contohnya n ∈ himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca: n faktorial) diartikan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan asli secara berurutan dari n sampai 1.

Maka kita tulis:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1.

 

Diartikan sebagai 1! = 1 dan 0! = 1.

 

Sebagai contoh:

 

Tentukan nilai dari 5!.

 

Jawab:

 

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

 

Tentukan nilai dari 2! + 3!.

 

Jawab:

 

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

Permutasi

Yaitu menyusun K objek dari N objek dengan memerhatikan urutannya. Ada tiga contoh permutasi yang sering muncul, yaitu permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis.

Macam dan Formula atau Rumus Permutasi

1. Permutasi dari n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemen

Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!

Sebagai contoh:

Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir.

 

Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?

 

Jawab:

 

Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni:

Baca Juga :   Rumus Peluang : Pengertian, Nilai, Penjumlahan, Dan Contoh Soalnya

 

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

 

2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

 

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah :

Contohnya :

Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia yaitu…

 

Jawab:

 

Banyak siswa, n = 8

 

Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

 

Sehingga :

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

Keterangan:

 

n    = menunjukan banyaknya elemen seluruhnya

 

k1  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

 

k2  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

 

 

kt   = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang sama

 

t = 1,2,3,…

contohnya :

Banyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yaitu…

 

Jawab:

 

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf adalah (n) = 10

 

k1 = huruf B = 2

 

k2 = huruf A = 3

 

k3 = huruf S = 4

 

k4 = huruf I = 1

4. Permutasi Siklis

Adalah permutasi melingkar atau urutan melingkar. Atau suatu cara/metode untuk menentukan susunan unsur yang disusun dengan siklis, dengan memerhatikan urutannya. Banyaknya permutasi dari siklis dari unsur N yang berbeda adalah :

nPsiklis = (n-1)!

Contohnya :

Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu…

 

Jawab:

 

Banyak orang (n) = 5, sehingga:

 

5Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

 

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Pn = nk

Contohnya :

Banyak susunan dari 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yaitu…

Jawab:

  • Banyaknya susunan 3 bilangan, yang artinya bilangan ratusan, k = 3
  • Banyak angka yang akan disusun adalah n = 6
  • Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6, sehingga:

P6 = 63 = 216 susunan.

Kombinasi

Adalah pengelompokkan dari sebagian/seluruh elemen suatu himpunan tanpa memerhatikan urutan susunan pemilihannya. Cara untuk menentukan kombinasi yaitu :

Contohnya :

Kombinasi dari 2 elemen dari 3 huruf  a,b,c yaitu ab, ac, bc . Sementara ba, ca, cb  tidak termasuk ke dalam hitungan sebab dalam kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi yaitu :

Binom Newton

Binom Newton berkaitan dengan bentuk dari (a + b)a. Di mana suku ke-r dari bentuk tersebut yaitu:

Suku ke – r = nCr-1 × an-r+1 × br-1

Sebagai ilustrasi:

koefisien dari x27 dari (x+2x)15  adalah:

nCr-1xan-r+1xbr-1 = 15 Cr-1x(x2)15-r+1x(2x)r-1

=15 Cr-1x(x30-2r+2)x(2x)r-1

Supaya x berpangkat 27 maka dibikin:

27 = (30 – 2r – 2) + (r – 1) → r = 4

Sehingga:

  • suku ke – 4   = 15Cr-1x(x30-2r+2)x(2x)r-115C3x(x30-8+2)x(2x)4-1
  • Koefisiennya: 3640
Baca Juga :   Matematika Keuangan : Bunga Tunggal, Majemuk, Rente, Anuitas, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Peluang Suatu Kejadian

Nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0-1. Untuk masing-masing kejadian A, batas dari nilai P(A) secara matematis ditulis seperti berikut :

0 ≤ P (A)  ≤ 1 dengan P(A) merupakan peluang suatu kejadian A

Apabila P(A) = 0, maka kejadian A merupakan kejadian yang mustahil, maka peluangnya tak lain adalah 0

Contohnya :

Matahari yang terbit di sebelah selatan merupakan suatu kejadian yang mustahil, sehingga peluangnya tak lain adalah = 0

Apabila P(A) = 1, maka kejadian A merupakan kejadian pasti

Sebagai contoh:

Makhluk yang bernyawa pasti nanti akan mati hal itu adalah suatu kejadian pasti, sehingga peluangnya adalah = 1

Terdapat juga peluang kejadian yang bernilai antara 0 dan 1, yang artinya kejadian tersebut mungkin terjadi.

Sebagai contoh peluang seorang murid untuk menjadi juara kelas. Apabila L adalah kejadian komplemen dari kejadian A maka peluang dari kejadian L merpakan 1- peluang kejadian A.

Secara matematis dapat ditulis sebagai:

P (L)  = 1 – P(A) atau bisa juga P(L) + P(A) = 1

Sebagai contoh:

Apabila peluang turun hujan pada hari ini adalah = 0,6 maka peluang untuk tidak turun hujan pada hari ini adalah = 1 – P (hujan)
= 1 – 0,6
= 0,4

Frekuensi Harapan

Adalah kejadian yang merupakan harapan banyaknya timbul kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Secara matematis ditulis dengan :

Frekuensi harapan = P(A) x banyak percobaan

Contohnya :

Dalam percobaan pengetosan sebuah dadu yang dilakukan sebanyak 60 kali, maka :

Peluang muncul mata 2 adalah = 1/6

Frekuensi harapan muncul mata 2 adalah = P (mata 2) x banyak percoban
= 1/6 x 60
= 10 kali

Kejadian Majemuk

Adalah dua/lebih kejadian yang dioperasikan hingga membentuk kejadian yang baru. Kejadian K dan kejadian komplemen berupa K memenuhi persyaratan berikut :

P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)

Penjumlahan Peluang

Kejadian Saling Lepas

Terdapat buah kejadian A dan B bisa disebut sebagai kejadian saling lepas jika tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang berlangsung pada kejadian B.

Sehingga peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumus untuk kejadian saling lepas yaitu:

P(A u B) = P(A) + P(B)

Kejadian Tidak Saling Lepas

Maksutdnya yaitu elemen A yang sama dengan elemen B, rumus matematikanya bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)


Kejadian Bersyarat

Kejadian bersyarat bisa berlangsung jika kejadian A bisa mempengaruhi munculnya kejadian B maupun sebaliknya. Maka dari itu rumusnya bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Sebab  kejadiannya itu saling berpengaruh, maka juga bisa menggunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan

Terdapat 3 orang anak yang akan duduk bersama di satu bangku yang memanjang. Ada berapakah cara mereka untuk duduk bersama pada bangku tersebut?

Jawab:

Ketiga anak akan duduk bersama, maka kita akan menggunakan rumus permutasi P(3,3)

P(3,3) = 3 = 2x2x1 = 6

Sehingga ketiga anak tersebut dapat duduk bersama dengan menggunakan 6 cara.

Demikian pembahasan materi tentang kaidah pencacahan yang baik dan benar. Semoga artikel ini dapat membantu anda dalam menyelesaikan soal kaidah pencacahan dengan tepat. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :