Matematika Keuangan : Bunga Tunggal, Majemuk, Rente, Anuitas, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Matematika Keuangan : Bunga Tunggal, Majemuk, Rente, Anuitas, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Matematika Keuangan – Dalam matematika keuangan terdapat istilah keuangan kuantitaif yang merupakan bidang matematika terapan, yang berkaitan dengan permodelan matematika dari pasar keuangan. Dari segi praktiknya, matematika keuangan bertumpuk di bidang keuangan perhitungan atau yang dikenal dengan rekayasa keuangan.

Hal itu dikatakan sama, kejuteraan keuangan terkonsentrasi dalam aplikasi, sedangkan pada matematika keuangan terkonsentrasi ada pada model dan pengadaan. Dalam matematika keuangan ini, mari kita bahas tentang bunga tunggal, bunga majemuk, rente, anuitas, angsuran, penerapan anuitas pada obligasi, serta penyusutan.

Bunga Tunggal

Jika diketahui sukunya bunga tunggal maka dalam menghitung modal akhirnya menggunakan :

M = Mo (1+n.i)

Keterangan :

  • M = merupakan Modal akhir
  • Mo = merupakan Modal awal
  • n = merupakan Lama (waktu) peminjaman
  • i = merupakan presentase suku bunga (bunga tunggal)

Contohnya :

Hitunglah jumlah modal akhir dari modal sebesar Rp.10.000.000,- yang akan dipinjamkan selama 3 tahun dengan suku bunga tunggal 1% pada setiap triwulanya.

 

Jawab:

 

Sebab di atas tertera bunga akan diberikan pada setiap triwulannya maka;

n = 3 thn/ 3 bulan

= 3.12/ 3

= 36/3

= 12

 

Sehingga, selama 3 tahun akan berlangsung 12 kali pembayaran bunga.

 

Jadi besarnya modal akhir ialah sebesar:

M = Mo (1+n.i)

= 10.000.000 (1+ 12. 1%)

= 10.000.000 + 10.000.000 (12%)

= 10.000.000 + 1.200.000

= 11.200.000

 

Sehingga, besarnya modal akhir selepas 3 tahun yaitu Rp.11.200.000,-

 

Bunga tunggal dihitung dan digunakan dalam sistem pinjaman dan permodalan.

Bunga merupakan jasa dari pinjaman.

Suku bunga= bunga/(pinjaman mula-mula) x 100%

Contohnya :

Gilang hendak meminjam uang dari Koperasi sejumlah Rp.1.000.000,00. Sesudah satu bulan, maka Gilang harus mengembalikan modal sekaligus bunganya dengan jumlah Rp.1.020.000,00.

 

Maka tentukan besarnya bunga serta suku bunganya!

 

Jawab:

 

Bunga = Rp.1020.000,00 – Rp.1.000.000,00 = Rp.20.000,00, sehingga;

suku bunga= 20.000,00/1.000.000,00 x 100%=2%

Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh di akhir jangka waktu tertentu, yang tak akan memengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga di masing-masing periode selalu dihitung berdasarkan jumlah modal tetap.

Rumus bunga yang sering digunakan yaitu :

B = i x t x M

Keterangan :

  • B = merupakan bunga
  • i = merupakan suku bunga tiap periode
  • t = merupakan banyaknya periode
  • M = merupakan modal

Contohnya :

sebuah modal sebesar Rp.1.000.000,00 kemudian dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Maka hitunglah besarnya bunga sesudah kurun waktu 5 bulan ?

 

Jawab:

 

M = Rp.1.000.000,00

i = 2%/bulan

t = 5 bulan

 

besar bunga = 2% x 5 x Rp.1.000.000,00 = Rp.100.000,00

 

Sehingga, besarnya bunga selama kurun waktu 5 bulan yaitu Rp.100.000,00.

Bunga Majemuk

Dalam materi matematika keuangan, untuk menentukan modal akhir dan bunganya majemuk maka bisa dipakai dua metode. Yaitu :

M = Mo (1+i)2

Keterangan :

  • M = merupakan modal akhir
  • Mo = merupakan modal awal
  • n = merupakan lama (waktu) peminjaman
  • i = merupakan presentase suku bunga (bunga majemuk)

Contohnya :

Hitunglah jumlah modal akhir dari modal sebesar Rp.10.000.000,- yang telah dipinjamkan selama kurun waktu 2 tahun dengan suku bunga majemuknya 2% pada setiap tahunya.

 

Jawab:

 

M = Mo (1+i)2

M = 10.000.000 (1 + 12%)2

= 10.000.000 + (1 + 0,02)2

= 10.000.000 + 1.404.000

= 11.404.000,-

 

Sehingga, diketahui selepas kurun waktu 2 tahun modal akhir akan menjadi Rp.11.404.000.

Baca Juga :   Pengertian Serta Unsur-Unsur Lingkaran dan Menghitung Luas & Keliling Lingkaran

Bunga majemuk dihitung serta dipakai dalam sistem pinjaman dan permodalan.

Apabila a menyimpan uang pada sebuah Bank, lalu pada setiap akhir periode, bunga yang didapatkan tersebut tidak diambil.

Maka bunga tersebut akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga di periode selanjutnya.

Bunga yang didapatkan nilainya akan lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya.

Rumus yang sering digunakan dalam menentukan bunga majemuk dalam sistem pinjaman dan permodalan yaitu :

M_n=M〖(1+i)〗^n

Keterangan :

  • Mn = merupakan modal pada periode ke-n (Modal akhir)
  • M = merupakan modal awal
  • i = merupakan suku bunga
  • n = merupakan periode

Contohnya :

Modal sejumlah Rp.5.000.000,00 akan dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Hitunglah modal akhir serta bunga yang didapatkan selepas kurun waktu 6 tahun ?

 

Jawab:

 

Diketahui:

 

M = Rp.5.000.000,00

i = 10%/tahun = 0,1/tahun

n = 6 tahun

Sehingga;

 

M_6=Rp.5.000.000,00 (1+0,1)^6

=Rp.5.000.000,00 (1,1)^6

=Rp.5.000.000,00 x 1,771561

=Rp.8.857.805,00

 

Bunga = Rp.8.857.805,00 – Rp.5.000.000,00 = Rp.3.857.805,00

 

Maka dari itu, modal akhir sebesar Rp.8.857.805,00 serta akan mendapatkan bunga sebesar Rp.3.857.805,00.

Bunga majemuk juga bisa dicari dengan rumus :

Mn = M (1+b)n

b      = jm/m

Keterangan :

  • Mn = merupakan nilai akhir
  • M = merupakan nilai pokok awal
  • n  = merupakan jumlah periode perhitungan bunga
  • b  = merupakan tingkat bunga per periode perhitungan bunga
  • m = merupakan frekuensi perhitungan bunga
  • jm  = merupakan tingkat bunga nominal dengan periode
    *perhitungan m kali per tahun

Rente

1. Menyelesaikan masalah rente dalam keuangan

  • Nilai akhir rente dihitung sesuai dengan jenisnya

Rente adalah sederetan modal/angsuran yang nantinya dibayarkan/diterima dalam jangka waktu tertentu yang besarnya tetap.

  • Nilai akhir Rente Pra Numerando

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan :

  • Na = Nilai akhir
  • M = Modal
  • i = suku bunga (%)
  • t = periode

Contohnya :

Pada setiap awal tahun, Gilang menyimpankan uang pada Bank BC sebesar Rp.1.000.000,00. Apabila bank memberikan bunga 6%/tahun, maka hitunglah uang Gilang sesudah menabung selama 20 tahun ?

 

Jawab:

 

Diketahui:

 

M = Rp.1.000.000,00

i = 6%/tahun = 0,06/tahun

t = 20 tahun

Penyelesaian:

 

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i

= (1.000.000,00(1+0,06)((〖1+0,06)〗^20-1))/0,06

= (1.000.000,00+60.000,00)(〖1,06〗^20-1)/0,06

= (1.060.000,00 (3,2071-1))/0,06

= (1.060.000,00 (2,2071))/0,06

= 2339563,6005/0,06

=38.992.726,6757

 

Sehingga, kita ketahui besar tabungan Niesa selepas kurun waktu 20 tahun ialah Rp.38.992.726,6757.

  • Nilai akhir Rente Post Numerando

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan :

  • Na = merupakan nilai akhir
  • M = merupakan modal
  • i = merupakan suku bunga (%)
  • t = merupakan periode

Contohnya :

Pada setiap akhir tahun, Setiawan menyimpan uangnya pada Bank Mandiri sebesar Rp.800.000,00 selama kurun waktu 25 tahun.

 

Apabila bank tersebut memberikan bunga 5%/tahun, maka hitunglah jumlah simpanan Setiawan!

 

Jawab:

 

Diketahui:

 

M = Rp.800.000,00

i = 5%/tahun = 0,05/tahun

t = 25 tahun

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i

= (800.000,00 ((1+0,05)^25-1))/0,05

= (800.000,00 (〖1,05〗^25-1))/0,05

= (800.000,00 (3,3863-1))/0,05

= (800.000,00 (2,3863))/0,05

= 1.909.083,9527/0,05

=38.181.679,0543

 

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar simpanan Setiawan selepas 25 tahun adalah Rp.38.181.679,05.

2. Nilai tunai rente dihitung sesuai dengan jenisnya

  • Nilai tunai Rente Pra Numerando

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan :

  • Nt = Nilai tunai
  • M = Modal
  • i = suku bunga (%)
  • t = periode

Contohnya :

Zaidan akan memperoleh beasiswa dalam setiap awal bulan dari PT UNILEVER sejumlah Rp.250.000,00 selama kurun waktu 3 tahun.

 

Apabila beasiswa tersebut akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama serta dikenai bunga 2%/bulan, maka hitunglah besarnya beasiswa total yang akan diterima Zaidan!

 

Jawab:

Baca Juga :   Barisan Dan Deret : Pengertian, Geometri, Deret Geometri, Hubungan, Dan Contoh Soalnya Lengkap

 

Diketahui:

 

M = Rp.250.000,00

i = 2%/bulan = 0,02/bulan

t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

= (250.000,00 (1+0,02)(1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02

= 250.000,00(1,02)(1-(1,02)^(-36) )/0,02

= 250.000,00(1,02)(1-0,49022315)/0,02

= 255.000,00(0,50977685)/0,02

= 6.499.654,83

 

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar beasiswa yang diterima oleh Zaidan adalah Rp. 6.499.654,83.

  • Nilai tunai Rente Post Numerando

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan:

  • Nt = merupakan nilai tunai
  • M = merupakan modal
  • i = merupakan suku bunga (%)
  • t = merupakan periode

Contohnya :

Pada setiap akhir bulan, Yayasan Terkasih memperoleh sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sejumlah Rp.5.000.000,00 selama kurun waktu 3 tahun berturut-turut.

 

Apabila kemudian sumbangan akan diberikan sekaligus serta dikenai bunga sebesar 2%/bulan, maka hitunglah sumbangan total yang akan diterima oleh Yayasan Terkasih?

 

Jawab:

 

M = Rp.5.000.000,00

i = 2%/bulan = 0,02/bulan

t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

= (5.000.000,00 (1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02

= (5.000.000,00 (1-(1,02)^(-36) ))/0,02

= (5.000.000,00 (1-0,49022315))/0,02

= (5.000.000,00 (0,50977685))/0,02

=127.444.212,5

 

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar sumbangan yang akan diterima oleh Yayasan Terkasih adalah Rp.127.444.212,50.

Anuitas

1. Rumus Mencari Nilai Anuitas

Dalam mencari nilai anuitas, kita bisa memakai rumus berikut :

AN = M.i/1-(1+i)-n

Keterangan :

  • M = Modal
  • i   = Suku bunga

AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%

Rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama, yaitu :

AN = A1 x (1+i)n

Keterangan :

  • AN = Anuitas
  • A1 = Angsuran Pertama
  • i     = Suku Bunga
  • n    = Jangka waktu

Contohnya :

Laras bersama suaminya berencana akan mengambil rimah di daerah VILLA INDAH dengan harga Rp.250.000.000,00.

 

Namun, Laras hanya mempunyai uang muka Rp.100.000.000,00. Sisanya akan di cicil dengan menggunakan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Maka, hitunglah nilai anuitasnya!

 

Jawab:

 

M = 250.000.000 – 100.000.000 = 150.000.000

n   = 10 Tahun

i   = 18%/tahun = 0,18 / tahun

AN = M.i/ 1-(1+i)-n

AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)-10

AN = 27.000.000 / 1 – 1,18 -10

AN = 27.000.000/0,808935533

AN = 33.377.196,20

2. Rumus Sisa Pinjaman Anuitas

Ada empat cara dalam mencari sisa pinjaman, diantaranya yaitu :

Cara atau metode pertama dapat mengguakan rumus di bawah ini :

Sm = B ke (m+1)/i

Keterangan :

  • Sm = merupakan sisa bunga ke m
  • i = merupakan suku bunga

Cara atau metode kedua dapat menggunakan rumus di bawah ini :

Sm = M – ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))

Keterangan :

  • Sm = merupakan sisa bunga ke m
  • M = merupakan modal
  • A1 = merupakan angusuran pertama

Cara atau metode ketiga dapat menggunakan rumus di bawah ini :

Sm  = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) – daftar nilai akhir renre kolom i% baris (m-1)]

Keterangan :

  • Sm = merupakan sisa bunga ke m
  • A1 = merupakan pertama

Cara atau metode keempat dapat menggunakan rumus di bawah ini :

Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]

Keterangan :

  • Sm = Sisa bunga ke
  • AN = Anuitas

Contoh Soal

(Menggunakan Cara Pertama)

Pinjaman sejumlah  Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi dengan menggunakan sistem anuitas bulanan yang memiliki suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun.

 

Maka hitunglah besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan!

 

Jawab:

 

B1 = M x i

= 10.000.000 x 0,03

= 300.000

 

A1 = AN-B1

= 510.192,59 – 300.000

= 210.192,59

 

A11 = A1 ( 1+i)11-1

= 210.192,59 ( 1+0,03)10

= 210.192,59  x 1,343916379

= 282.481,26

 

B11 = AN – A11

= 510.192,59 – 282.481,26

= 227.711,33

 

S10 = B11/i

Baca Juga :   Perkalian Matriks : Rumus, Contoh Soal Dan Pembahasannya Lengkap

= 227.711,33/0,03

= 7.590.377,67

3. Menyelesaikan masalah anuitas dalam sistim pinjaman

Anuitas dipakai dalam sistim pinjaman

Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang besarnya sama dengan yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri dari bagian bunga dan bagian angsuran. Rumus yang dipakai yaitu :

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t)))

A=a_1 x 〖(1+i)〗^t

a_n=a_1 〖(1+i)〗^(t-1)

Keterangan :

  • A = merupakan anuitas
  • M = merupakan modal / pinjaman
  • i = merupakan suku bunga
  • t = merupakan periode
  • a1 = merupakan angsuran ke-1

Contohnya :

Sebuah pinjaman sejumlah Rp 10.000.000,- akan dilunasi dalam waktu 3 angsuran dengan memiliki suku bunga 12% pertahun.

 

Hitunglah besar anuitasnya!

 

Jawab:

 

Diketahui:

 

M = Rp 10.000.000,-

i = 12% = 0,12

t = 3

Penyelesaian:

 

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t) ) )

= (10.000.000 (0,12))/((1-(1+0,12)^(-3) ) )

= 1.200.000/((1-(1,12)^(-3) ) )

= 1.200.000/((1-0,711780))

= 1.200.000/0,28822

= 4.163.483,22

 

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar anuitasnya perbulan yang harus dibayarkan adalah Rp.4.163.483

4. Anuitas dihitung dalam sistim pinjaman

Menyusun tabel rencana angsuran

Contohnya :

Sebuah pinjaman sejumlah Rp.15.000.00,00 akan dilunasi dalam kurun waktu 11 bulan dengan besaran suku bunga pinjaman 2% per bulan.

 

Hitunglah besar anuitas serta buatlah tabel rencana angsurannya!

 

Jawab:

 

M = Rp.15.000.000

i = 2%/bulan = 0.02/bulan

t = 11 bulan

Dengan menggunakan rumus anuitas seperti pada contoh sebelumnya, maka akan kita dapatkan besar anuitas sebesar Rp.1.532.669.

 

Berikutnya akan kita tentukan besar bunga di bulan ke-1 yaitu dengan cara mengalikan antara suku bunga dengan besar pinjaman pada bulan ke-1. Yakni = 2% x Rp.15.000.000=Rp.300.000.

 

Begitu pula berikutnya untuk besar bunga bulan ke-2, bulan ke-3 …. dst.

 

Pada angsuran bulan ke-1 akan didapatkan dengan cara mengurangkan antara besar anuitas dengan besar bunga pada bulan ke-1. Yakni = Rp.1.532.669 – Rp.300.000 = Rp.1232.669.

 

Begitu pula untuk besar angsuran pada bulan berikutnya.

 

Sisa pinjaman bulan ke-1 didapatkan dengan cara mengurangkan antara besar pinjaman bulan ke-1 dengan besar angsuran bulan ke-1. Yakni= Rp.15.000.000 – Rp.1.232.669 = Rp.13.767.331.

 

Begitu pula untuk besar sisa pinjaman periode berikutnya.

 

Besar pinjaman pada bulan ke-2 didapatkan dari besar sisa pinjaman bulan ke-1.

 

Begitu pula untuk besar pinjaman berikutnya akan didapatkan dari besar sisa pinjaman pada bulan sebelumnya.

Bulan ke- Pinjaman Anuitas Rp 1,532,669 Sisa Pinjaman

Bunga = 0.02 Angsuran

 

NoSisa PinjamanSisa PinjamanSisa PinjamanSisa Pinjaman
1Rp 15,000,000Rp 300,000 0.02Rp 1,232,669Rp 13,767,331
2Rp 13,767,331Rp 275,347 0.02Rp 1,257,323Rp 12,510,008
3Rp 12,510,008Rp 250,200 0.02Rp 1,282,469Rp 11,227,539
4Rp 11,227,539Rp 224,551 0.02Rp 1,308,118Rp 9,919,421
5Rp 9,919,421Rp 198,388 0.02Rp 1,334,281Rp 8,585,140
6Rp 8,585,140Rp 171,703 0.02Rp 1,360,966Rp 7,224,174
7Rp 7,224,174Rp 144,483 0.02Rp 1,388,186Rp 5,835,988
8Rp 5,835,988Rp 116,720 0.02Rp 1,415,949Rp 4,420,039
9Rp 4,420,039Rp 88,401 0.02Rp 1,444,268Rp 2,975,771
10Rp 2,975,771Rp 59,515 0.02Rp 1,473,154Rp 1,502,617
11Rp 1,502,617Rp 30,052 0.02Rp 1,502,617Rp (0)

Jumlah Rp 1,859,361 Rp 15,000,000

Demikian pembahasan materi tentang Matematika Keuangan yang lengkap dengan jenis-jenis dan contoh soalnya. Semoga artikel ini dapat dipahami dan membantu anda menyelesaikan beragam soal dalam Matematika Keuangan. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :