Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Sistem Pertidaksamaan Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Sistem Pertidaksamaan Dan Contoh Soalnya Lengkap

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Adalah kalimat terbuka di dalam matematika yang dimana terdapat dua variabel di dalamnya. masing-masing variabelnya memiliki derajat dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Tanda pertidaksamaan ini yaitu seperti >, <, ≤, atau ≥.

Maka, bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti :

  • ax + by > c
  • ax + by < c
  • ax + by ≥ c
  • ax + by ≤ c

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Berbeda dengan penyelesaian pada persamaan linear dua variabel dengan wujud himpunan pasangan titik-titik. Atau gambar grafiknya berupa garis lurus. Penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini bentuknya adalah daerah penyelesaian. Penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah bersih.

Dalam menentukan penyelesaiannya, langkah-langkahnya seperti berikut ini :

  1. mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan, hingga kita mendapatkan persamaan linear dua variabel.
  2. Gambar dari grafik/garis persamaan dua linear tadi, yang dapat kita lakukan adalah dengan menentukan titik potong sumbu X dan Y dari persamaan. Atau bisa menggunakan dua titik sembarang, yang dilewati oleh garisnya. Garis akan membagi dua bidang kartesius.
  3. Lakukan uji titik yang tidak dilewati oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Apabila menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut adalah penyelesaiannya. Tetapi, jika menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang dimana peubah bebasnya berbentuk linear atau pangkat satu. Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua peubah disebut sebagai sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

Berikut ini adalah contoh dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah :

3x + 8y ≥ 24,

x + y ≥ 4,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan berurut X,Y yang bisa memenuhi pertidaksamaan linear itu. Himpunan dari penyelesaian itu dinyatakan dengan daerah di bidang kartesius atau bidang XOY yang diarsir. Contohnya :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini:

  1. 2x + 3y ≥ 12 c. 4x – 3y < 12
  2. 2x – 5y > 20 d. 5x + 3y ≤ 15

 

Jawab:

 

  1. Langkah pertama adala lukis garis 2x + 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.
Baca Juga :   Materi Relasi Dan Fungsi (Komposisi Dan Fungsi Invers Lengkap)

 

Titik potong garis dengan sumbu X memilki arti sebagai y = 0, dan didapatkan x = 6 (titik (6,0)).

 

Titik potong garis dengan sumbu Y artinya x = 0, didapat y = 4 (titik (0,4)).

 

Garis 2x + 3y = 12 tersebut kemudian akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian, maka dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh disini kita ambil titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

2 x0 + 3x 0 < 12

0 < 12

 

Sehingga, 0 ≥ 12 salah, yang berarti tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

 

Jadi, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0).

Yaitu daerah yang diarsir seperti  di bawah ini :

Langkah pertama adalah menggambar garis 2x – 5y = 20 dengan cara menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X,  y = 0, didapat x = 10 (titik (10,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, didapat y = –4 (titik (0,–4))

Garis 2x – 5y = 20 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil titik uji pada salah satu sisi daerah.

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

2 x0 – 5 x0 > 20

0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar berikut :

Langkah pertama adalah menggambar garis 4x – 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 didapat x = 3 (titik (3,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 didapat y = –4 (titik (0,–4))

Garis 4x – 3y = 12 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

4 x0 – 3x 0 < 12

0 < 12 (benar), yang berarti dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar berikut :

Langkah pertama adalah menggambar garis 5x + 3y = 15 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y.

Baca Juga :   Integral Substitusi dan Integral Parsial : Pengertian, Rumus Serta Contoh Soalnya Lengkap

 

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, didapat x = 3 (titik (3,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, didapat y = 5 (titik (0,5))

Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

5 x0 + 3x 0 ≤15

0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar berikut :

Sehingga cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua perubah, dapat dilakukan dengan cara berikut :

  1. Menggambar garis ax + by = c dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a ,0) serta pada sumbu Y di titik (0,c/b ).
  2. Kita cari tahu sebuah titik uji yang berada di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan. Apabila pertidaksamaan mampu terpenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut adalah daerah himpunan penyelesaian. Apabila pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak terdapat pada titik uji tersebut adalah daerah himpunan penyelesaian.

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang kartesius yang dapat memenuhi seluruh pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. dan daerah himpunan penyelesaian adalah irisan dari beberapa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

Contohnya :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini:

  1. 3x + 5y ≤ 15 b. x + y ≤ 6

x ≥ 0                                    2x + 3y ≤ 12

y ≥ 0                                    x ≥ 1

y ≥  2

 

Jawab:

 

  1. Langkah pertama adalah menggambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0

 

Untuk 3x + 5y ≤ 15

 

Kemudian pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

3x 0 + 5x 0 ≤ 15

0 ≤ 15 (benar), yang berarti dipenuhi

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0)

 

Untuk x ≥ 0, kita pilih titik (1,1) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya ialah daerah yang memuat titik (1,1)

Untuk y ≥ 0, kita pilih titik (1,1) lalu substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, himpunan penyelesaian dari soal tersebut adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Baca Juga :   Distribusi Frekuensi : Pengertian, Rumus dan Contoh Tabelnya Lengkap

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas.

 

Yakni yang tertera seperti pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

 

  1. Langkah pertama adalah menggambar garis x + y =6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2.

 

Untuk x + y ≤ 6, kita pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

 

1 x0 + 1 x0 ≤ 6

0 ≤ 6 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaiu daerah yang memuat titik (0,0).

Untuk 2x + 3y ≤ 12, pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

 

2 x0 + 3x 0 ≤ 12

0 ≤ 12 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga dapat kita ketahui daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0).

 

Untuk x ≥ 1, pilih titik (2,1) lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga kita dapatkan 2 ≥ 1 (benar) yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (2,1).

 

Untuk y ≥ 2, kita pilih titik (1,3) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh 3 ≥ 2 (benar) yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, himpunan penyelesaiannya berada di daerah yang memuat titik (1,3).

Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas.

Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Peubah Diketahui

Contohnya :

Daerah yang diarsir di bawah ini adalah daerah himpunan penyelesaiaan dari sebuah sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

Maka, tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.

Jawab:

 

  1. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1 yaitu:

 

x/2 + y/2 = 1 menjadi x+y=2

 

Garis l2 melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2 yaitu:

 

x/1 + y/2 = 1 menjadi 2x+y=2

 

Dari gambar di atas, diketahui bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) terletak di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya yakni:

 

x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan y ≥  0

 

  1. Garis l1 melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1 yaitu:

 

x/4 + y/4 = 1 menjadi x+y=4

 

Garis l2 melalui titik (2,0) dan (0,–1), persamaan garis l2 yaitu:

 

x/2 + y/-1 = 1 menjadi -x+2y = -2

 

x-2y  = 2

 

Dari gambar di atas, diketahui bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) terletak di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan juga di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya yakni:

 

x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

Demikianlah pembahasan materi Pertidaksamaan Linear Dua Variabel yang lengkap dengan contoh soalnya. Semoga dapat dipahami dan membantu anda menyelesaikan soal yang sama. Semoga bermanfaat.

Baca Juga :